SPDC空間糾纏介紹

量子理論最顯著的特征之一是糾纏，即量子系統顯示出粒子或光子之間的非局域相關性，而這種相關性用經典物理學是無法解釋的。例如，這可以通過違反貝爾不等式來證明。雖然在許多情況下討論的是兩級系統（量子比特）之間的糾纏，但多級系統之間的高維糾纏提供了更豐富的結構。

高維糾纏態具有吸引力，因為它們的信息容量更大，而且抗噪聲和抗損耗能力更強。此外，利用自發參量下變頻（SPDC）生成高維糾纏態以及利用液晶空間光調制器對其進行塑形也相對簡單。

在 SPDC中，一束強平面波泵浦光束撞擊非線性晶體，如 PPKTP（周期輪詢 KTP）。在與晶體非線性系數相關的某種概率下，一個泵浦光子將被湮滅，同時產生兩個糾纏光子（圖 1a）。由于能量必須守恒，這兩個光子的頻率必須與泵浦光子的頻率相加，這里我們將假設它們具有相同頻率的退化情況（圖 1b）。由于動量必須保持不變，因此產生的光子的波矢量必須與泵浦光子的波矢量相加，而泵浦光子的波矢量是指向特定方向的，因為泵浦光子是平面波。因此，這兩個光子的橫向動量將具有反相關性（圖 1c）。這意味著，如果一個光子以某個角度發射，它的孿生光子就會以與泵浦光束相反的方向發射。

圖 1： (a) 遵循能量（b）和動量（c）守恒的 SPDC 過程示意圖。(d) 由此產生的量子態。(e)和(f)是大施密特數下晶體遠場的典型單計數和重合計數。(g) 疊加態中的模式數的分析近似值。

事實上，這兩個光子的生成狀態是這些不同角度發射的相干疊加，每個光子的方向相反，其系數取決于精確的相位匹配條件（圖 1d），通常像 sinc 函數一樣取決于角度[5]。這些相關性可以在遠場進行測量。使用簡單的照相機，我們可以觀察到 “單計數”，即在相位匹配允許的所有方向上發射的光子的平均強度，這可能是一個相當寬的區域（圖 1e）。然而，如果進行重合測量，就會發現在某一角度測量到一個光子，那么孿生光子總是具有很強的相關性，并且會在更小的 “重合區域 ”中被發現（圖 1f）。

重合區與單計數區之間的比率量化了量子疊加中不同模式的數量，這與其施密特秩有關[6, 7]（圖 1g）。因此，要定制 SPDC 的空間糾纏特性，應同時考慮相位匹配函數的寬度（控制單計數區）和相關性的強度，并相應地規劃光學裝置。

具體來說，相位匹配 sinc 函數的角寬度 b，或等同于 SPDC 過程所允許的角度范圍，由泵浦波長 λ_p 和晶體厚度 L 決定，約為 √(λ_p/L) 因此，雖然使用薄晶體會因相互作用長度較短而導致 SPDC 通量較小，但通常允許的發射角度范圍較大，并會產生高度空間糾纏態。

相反，重合區域的寬度由泵浦的角頻譜 σ 決定。事實上，對于具有單一定義明確的動量矢量的平面波泵浦來說，我們期待完美的相關性。然而，有限的泵浦光束必然包含許多不同的角度，這將導致動量守恒中的角度失配。這通常被稱為從泵到 SPDC 相關性的角頻譜轉移。

總之，使用具有窄角譜的寬泵浦光束和薄晶體會增加 SPDC 空間糾纏的維度。關于有效模式數量的推理同樣適用于近場： 寬泵浦光束會產生相應大的 SPDC 光子發射區域，而薄晶體則會導致每對光子在晶體輸出端都具有很強的空間相關性，這是因為它們從產生點出發的傳播距離很小。

當然，人們并不總是想要高維的空間糾纏。例如，在許多情況下，SPDC 光子會耦合到單模光纖中。在這種情況下，我們希望只產生一個空間模式，以獲得與光纖的良好耦合。一個很好的經驗法則是將泵浦的瑞利長度設定為晶體的長度。

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